БИНОМИАЛНИ СЛУЧАЙНИ ПРОМЕНЛИВИ

В тази публикация ще обсъдим биномиалните случайни променливи.
Предпоставка: Случайни променливи
Конкретен вид на дискретни случайна променлива, която отчита колко често се случва определено събитие при фиксиран брой опити или опити.
За да бъде една променлива биномиална случайна променлива ВСИЧКИ от следните условия трябва да бъдат изпълнени:

Има фиксиран брой опити (фиксиран размер на извадката).
При всеки опит събитието от интерес или се случва, или не.
Вероятността за възникване (или не) е една и съща при всеки опит.
Изпитанията са независими едно от друго.

Математически обозначения

 n = number of trials   
 p = probability of success in each trial   
 k = number of success in n trials    
 Сега се опитваме да намерим вероятността за k успех в n опита.   
 Тук вероятността за успех във всеки опит е p независимо от други опити.    
 Така че първо избираме k опита, в които ще има успех, а в останалите n-k опита ще има неуспех. Броят на начините да направите това е    
    
     
 Тъй като всички n събития са независими, следователно вероятността за k успех в n изпитания е еквивалентна на умножение на вероятността за всяко изпитание.   
 Ето неговите k успеха и n-k неуспеха Така че вероятността за всеки начин да се постигне k успех и n-k неуспех е    
    
     
 Следователно крайната вероятност е    
    
  (number of ways to achieve k success   
  and n-k failures)   
  *   
 (probability for each way to achieve k   
  success and n-k failure)    
 Тогава вероятността за биномиална случайна променлива се дава от:    
    
     
 Нека X е биномиална случайна променлива с броя опити n и вероятността за успех във всеки опит е p.    
 Очакваният брой успехи е даден от    
    
  E[X] = np    
 Дисперсията на броя на успехите се дава от    
    
  Var[X] = np(1-p)    
    Пример 1    : Помислете за случаен експеримент, в който монета с отклонение (вероятност за глава = 1/3) се хвърля 10 пъти. Намерете вероятността броят на появилите се глави да бъде 5.   
 решение:    
    
  Let X be binomial random variable    
 with n = 10 and p = 1/3   
 P(X=5) = ?               Ето изпълнението за същото    
    
 C++      // C++ program to compute Binomial Probability   #include          #include         using     namespace     std  ;   // function to calculate nCr i.e. number of    // ways to choose r out of n objects   int     nCr  (  int     n       int     r  )   {      // Since nCr is same as nC(n-r)      // To decrease number of iterations      if     (  r     >     n     /     2  )      r     =     n     -     r  ;      int     answer     =     1  ;      for     (  int     i     =     1  ;     i      <=     r  ;     i  ++  )     {      answer     *=     (  n     -     r     +     i  );      answer     /=     i  ;      }      return     answer  ;   }   // function to calculate binomial r.v. probability   float     binomialProbability  (  int     n       int     k       float     p  )   {      return     nCr  (  n       k  )     *     pow  (  p       k  )     *      pow  (  1     -     p       n     -     k  );   }   // Driver code   int     main  ()   {      int     n     =     10  ;      int     k     =     5  ;      float     p     =     1.0     /     3  ;      float     probability     =     binomialProbability  (  n       k       p  );      cout      < <     'Probability of '      < <     k  ;      cout      < <     ' heads when a coin is tossed '      < <     n  ;      cout      < <     ' times where probability of each head is '      < <     p      < <     endl  ;      cout      < <     ' is = '      < <     probability      < <     endl  ;   }   
  Java      // Java program to compute Binomial Probability   import     java.util.*  ;   class   GFG   {      // function to calculate nCr i.e. number of       // ways to choose r out of n objects      static     int     nCr  (  int     n       int     r  )      {      // Since nCr is same as nC(n-r)      // To decrease number of iterations      if     (  r     >     n     /     2  )      r     =     n     -     r  ;          int     answer     =     1  ;      for     (  int     i     =     1  ;     i      <=     r  ;     i  ++  )     {      answer     *=     (  n     -     r     +     i  );      answer     /=     i  ;      }          return     answer  ;      }          // function to calculate binomial r.v. probability      static     float     binomialProbability  (  int     n       int     k       float     p  )      {      return     nCr  (  n       k  )     *     (  float  )  Math  .  pow  (  p       k  )     *         (  float  )  Math  .  pow  (  1     -     p       n     -     k  );      }          // Driver code      public     static     void     main  (  String  []     args  )      {      int     n     =     10  ;      int     k     =     5  ;      float     p     =     (  float  )  1.0     /     3  ;          float     probability     =     binomialProbability  (  n       k       p  );          System  .  out  .  print  (  'Probability of '     +  k  );      System  .  out  .  print  (  ' heads when a coin is tossed '     +  n  );      System  .  out  .  println  (  ' times where probability of each head is '     +  p  );      System  .  out  .  println  (     ' is = '     +     probability     );      }   }   /* This code is contributed by Mr. Somesh Awasthi */   
  Python3      # Python3 program to compute Binomial    # Probability   # function to calculate nCr i.e.   # number of ways to choose r out   # of n objects   def   nCr  (  n     r  ):   # Since nCr is same as nC(n-r)   # To decrease number of iterations   if   (  r   >   n   /   2  ):   r   =   n   -   r  ;   answer   =   1  ;   for   i   in   range  (  1     r   +   1  ):   answer   *=   (  n   -   r   +   i  );   answer   /=   i  ;   return   answer  ;   # function to calculate binomial r.v.   # probability   def   binomialProbability  (  n     k     p  ):   return   (  nCr  (  n     k  )   *   pow  (  p     k  )   *   pow  (  1   -   p     n   -   k  ));   # Driver code   n   =   10  ;   k   =   5  ;   p   =   1.0   /   3  ;   probability   =   binomialProbability  (  n     k     p  );   print  (  'Probability of'     k     'heads when a coin is tossed'     end   =   ' '  );   print  (  n     'times where probability of each head is'     round  (  p     6  ));   print  (  'is = '     round  (  probability     6  ));   # This code is contributed by mits   
  C#      // C# program to compute Binomial   // Probability.   using     System  ;   class     GFG     {          // function to calculate nCr      // i.e. number of ways to       // choose r out of n objects      static     int     nCr  (  int     n       int     r  )      {          // Since nCr is same as      // nC(n-r) To decrease       // number of iterations      if     (  r     >     n     /     2  )      r     =     n     -     r  ;          int     answer     =     1  ;      for     (  int     i     =     1  ;     i      <=     r  ;     i  ++  )      {      answer     *=     (  n     -     r     +     i  );      answer     /=     i  ;      }          return     answer  ;      }          // function to calculate binomial      // r.v. probability      static     float     binomialProbability  (      int     n       int     k       float     p  )      {      return     nCr  (  n       k  )     *         (  float  )  Math  .  Pow  (  p       k  )      *     (  float  )  Math  .  Pow  (  1     -     p        n     -     k  );      }          // Driver code      public     static     void     Main  ()      {      int     n     =     10  ;      int     k     =     5  ;      float     p     =     (  float  )  1.0     /     3  ;          float     probability     =         binomialProbability  (  n       k       p  );          Console  .  Write  (  'Probability of '      +     k  );      Console  .  Write  (  ' heads when a coin '      +     'is tossed '     +     n  );      Console  .  Write  (  ' times where '      +     'probability of each head is '      +     p  );      Console  .  Write  (     ' is = '      +     probability     );      }   }   // This code is contributed by nitin mittal.   
  JavaScript       <  script  >   // Javascript program to compute Binomial Probability      // function to calculate nCr i.e. number of       // ways to choose r out of n objects      function     nCr  (  n       r  )      {      // Since nCr is same as nC(n-r)      // To decrease number of iterations      if     (  r     >     n     /     2  )      r     =     n     -     r  ;          let     answer     =     1  ;      for     (  let     i     =     1  ;     i      <=     r  ;     i  ++  )     {      answer     *=     (  n     -     r     +     i  );      answer     /=     i  ;      }          return     answer  ;      }          // function to calculate binomial r.v. probability      function     binomialProbability  (  n       k       p  )      {      return     nCr  (  n       k  )     *     Math  .  pow  (  p       k  )     *         Math  .  pow  (  1     -     p       n     -     k  );      }       // driver program      let     n     =     10  ;      let     k     =     5  ;      let     p     =     1.0     /     3  ;          let     probability     =     binomialProbability  (  n       k       p  );          document  .  write  (  'Probability of '     +  k  );      document  .  write  (  ' heads when a coin is tossed '     +  n  );      document  .  write  (  ' times where probability of each head is '     +  p  );      document  .  write  (     ' is = '     +     probability     );          // This code is contributed by code_hunt.    <  /script>   
  PHP         // php program to compute Binomial    // Probability   // function to calculate nCr i.e.   // number of ways to choose r out   // of n objects   function   nCr  (  $n     $r  )   {   // Since nCr is same as nC(n-r)   // To decrease number of iterations   if   (  $r   >   $n   /   2  )   $r   =   $n   -   $r  ;   $answer   =   1  ;   for   (  $i   =   1  ;   $i    <=   $r  ;   $i  ++  )   {   $answer   *=   (  $n   -   $r   +   $i  );   $answer   /=   $i  ;   }   return   $answer  ;   }   // function to calculate binomial r.v.   // probability   function   binomialProbability  (  $n     $k     $p  )   {   return   nCr  (  $n     $k  )   *   pow  (  $p     $k  )   *   pow  (  1   -   $p     $n   -   $k  );   }   // Driver code   $n   =   10  ;   $k   =   5  ;   $p   =   1.0   /   3  ;   $probability   =   binomialProbability  (  $n     $k     $p  );   echo   'Probability of '   .   $k  ;   echo   ' heads when a coin is tossed '   .   $n  ;   echo   ' times where probability of '   .   'each head is '   .   $p   ;   echo   ' is = '   .   $probability   ;   // This code is contributed by nitin mittal.   ?>   
       Изход:        
    
  Probability of 5 heads when a coin is tossed 10 times where probability of each head is 0.333333   
  is = 0.136565    
    
         Създаване на тест