لتكن A وB وC مجموعات، ولتكن R علاقة من A إلى B ولتكن S علاقة من B إلى C. أي أن R هي مجموعة فرعية من A × B وS هي مجموعة فرعية من B × C. ثم يؤدي R وS إلى ظهور علاقة من A إلى C يشار إليها بـ R◦S ويتم تحديدها بواسطة:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S  

العلاقة R◦S معروفة بتركيبة R وS؛ يتم الإشارة إليه أحيانًا ببساطة بواسطة RS.

دع R هي علاقة على المجموعة A، أي أن R هي علاقة من المجموعة A إلى نفسها. ثم يتم دائمًا تمثيل R◦R، تركيبة R مع نفسها. أيضًا، يُشار أحيانًا إلى R◦R بالرمز R ² . وبالمثل، ر ³ = ر ² ◦R = R◦R◦R، وهكذا. وهكذا ر ^ن يتم تعريفه لجميع الإيجابية n.

مثال 1: دع X = {4، 5، 6}، Y = {a، b، c} و Z = {l، m، n}. النظر في العلاقة R ₁ من X إلى Y و R ₂ من Y إلى Z.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)}  

العثور على تكوين العلاقة (أنا) ر ₁ ر ₂ (ثانيا) ر ₁ ر ₁ ^-1

حل:

(ط) علاقة التكوين R ₁ ر ₂ كما يظهر في الشكل:

ر ₁ ر ₂ = {(4، ل)، (4، ن)، (4، م)، (5، ل)، (5، م)، (5، ن)، (6، ل)، (6، م)، (6، ن)}

(2) علاقة التكوين R ₁ ر ₁ ^-1 كما يظهر في الشكل:

ر ₁ ر ₁ ^-1 = {(4، 4)، (5، 5)، (5، 6)، (6، 4)، (6، 5)، (4، 6)، (6، 6)}

تكوين العلاقات والمصفوفات

هناك طريقة أخرى للعثور على R◦S. دع م _ر و م _س تشير على التوالي إلى تمثيلات المصفوفة للعلاقات R و S. ثم

مثال

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR  

حل: تظهر مصفوفات العلاقة R و S في الشكل:

(ط) للحصول على تركيبة العلاقة R وS. قم أولاً بضرب M _ر مع م _س للحصول على المصفوفة M _ر × م _س كما يظهر في الشكل:

الإدخالات غير الصفرية في المصفوفة M _ر × م _س يحكي العناصر ذات الصلة في RoS. لذا،

ومن ثم فإن تكوين R o S للعلاقة R و S هو

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.  

(2) أولاً، اضرب المصفوفة M _ر في حد ذاته، كما هو مبين في الشكل

ومن ثم فإن تكوين R o R للعلاقة R و S هو

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)}  

(3) اضرب المصفوفة M _س مع م _ر للحصول على المصفوفة M _س × م _ر كما يظهر في الشكل:

الإدخالات غير الصفرية في المصفوفة M _س × م _ر يحكي العناصر ذات الصلة في S o R.

ومن ثم فإن تكوين S o R للعلاقة S و R هو

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.