المتغيرات العشوائية ذات الحدين
في هذا المقال سنناقش المتغيرات العشوائية ذات الحدين.
المتطلب السابق : المتغيرات العشوائية
نوع محدد من منفصلة متغير عشوائي يحسب عدد مرات حدوث حدث معين في عدد محدد من المحاولات أو التجارب.
لكي يكون المتغير متغيراً عشوائياً ذا الحدين يجب استيفاء جميع الشروط التالية:
- هناك عدد محدد من التجارب (حجم عينة ثابت).
- وفي كل تجربة، إما أن يحدث الحدث المعني أو لا يحدث.
- احتمال الحدوث (أو لا) هو نفسه في كل تجربة.
- المحاكمات مستقلة عن بعضها البعض.
الرموز الرياضية
n = number of trials
p = probability of success in each trial
k = number of success in n trials
الآن نحاول معرفة احتمالية نجاح k في التجارب n.
هنا احتمال النجاح في كل تجربة هو p مستقل عن التجارب الأخرى.
لذلك نختار أولاً تجارب k التي سيكون فيها النجاح، وفي تجارب الراحة n-k سيكون هناك فشل. عدد الطرق للقيام بذلك هو
نظرًا لأن جميع الأحداث n مستقلة، فإن احتمال نجاح k في التجارب n يعادل مضاعفة الاحتمالية لكل تجربة.
هنا نجاح k وفشل n-k لذا فإن احتمالية كل طريقة لتحقيق نجاح k وفشل n-k هي
وبالتالي فإن الاحتمال النهائي هو
(number of ways to achieve k success
and n-k failures)
*
(probability for each way to achieve k
success and n-k failure)
ثم يتم إعطاء الاحتمال المتغير العشوائي ذو الحدين بواسطة:
دع X يكون متغيرًا عشوائيًا ذا الحدين مع عدد التجارب n واحتمال النجاح في كل تجربة يكون p.
يتم إعطاء العدد المتوقع من النجاح بواسطة
E[X] = np
يتم إعطاء التباين في عدد النجاح بواسطة
Var[X] = np(1-p)
مثال 1 : خذ بعين الاعتبار تجربة عشوائية يتم فيها إلقاء عملة معدنية متحيزة (احتمالية الصورة = 1/3) لمدة 10 مرات. أوجد احتمال أن يكون عدد الرؤوس الظاهرة 5.
حل :
Let X be binomial random variable
with n = 10 and p = 1/3
P(X=5) = ?
هنا هو التنفيذ لنفسه
C++
Java// C++ program to compute Binomial Probability #include#include using namespace std ; // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * pow ( p k ) * pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code int main () { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); cout < < 'Probability of ' < < k ; cout < < ' heads when a coin is tossed ' < < n ; cout < < ' times where probability of each head is ' < < p < < endl ; cout < < ' is = ' < < probability < < endl ; } Python3// Java program to compute Binomial Probability import java.util.* ; class GFG { // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects static int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability static float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * ( float ) Math . pow ( p k ) * ( float ) Math . pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code public static void main ( String [] args ) { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = ( float ) 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); System . out . print ( 'Probability of ' + k ); System . out . print ( ' heads when a coin is tossed ' + n ); System . out . println ( ' times where probability of each head is ' + p ); System . out . println ( ' is = ' + probability ); } } /* This code is contributed by Mr. Somesh Awasthi */C## Python3 program to compute Binomial # Probability # function to calculate nCr i.e. # number of ways to choose r out # of n objects def nCr ( n r ): # Since nCr is same as nC(n-r) # To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ): r = n - r ; answer = 1 ; for i in range ( 1 r + 1 ): answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; return answer ; # function to calculate binomial r.v. # probability def binomialProbability ( n k p ): return ( nCr ( n k ) * pow ( p k ) * pow ( 1 - p n - k )); # Driver code n = 10 ; k = 5 ; p = 1.0 / 3 ; probability = binomialProbability ( n k p ); print ( 'Probability of' k 'heads when a coin is tossed' end = ' ' ); print ( n 'times where probability of each head is' round ( p 6 )); print ( 'is = ' round ( probability 6 )); # This code is contributed by mitsJavaScript// C# program to compute Binomial // Probability. using System ; class GFG { // function to calculate nCr // i.e. number of ways to // choose r out of n objects static int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as // nC(n-r) To decrease // number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial // r.v. probability static float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * ( float ) Math . Pow ( p k ) * ( float ) Math . Pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code public static void Main () { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = ( float ) 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); Console . Write ( 'Probability of ' + k ); Console . Write ( ' heads when a coin ' + 'is tossed ' + n ); Console . Write ( ' times where ' + 'probability of each head is ' + p ); Console . Write ( ' is = ' + probability ); } } // This code is contributed by nitin mittal.PHP< script > // Javascript program to compute Binomial Probability // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects function nCr ( n r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; let answer = 1 ; for ( let i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability function binomialProbability ( n k p ) { return nCr ( n k ) * Math . pow ( p k ) * Math . pow ( 1 - p n - k ); } // driver program let n = 10 ; let k = 5 ; let p = 1.0 / 3 ; let probability = binomialProbability ( n k p ); document . write ( 'Probability of ' + k ); document . write ( ' heads when a coin is tossed ' + n ); document . write ( ' times where probability of each head is ' + p ); document . write ( ' is = ' + probability ); // This code is contributed by code_hunt. < /script>الإخراج:
Probability of 5 heads when a coin is tossed 10 times where probability of each head is 0.333333
is = 0.136565إنشاء اختبار
